SISTEM BILANGAN

Untuk download versi Pdf silahkan klik DISINI

Saat di jenjang pendidikan sekolah dasar sampai SMA, kita telah mengenal suatu bilangan. Bilangan yang sering kita jumpai dan sering kita otak-atik di dalam pelajaran Matematika ataupun pelajaran lain yang menggunakan hitungan adalah Bilangan Desimal. Seperti kita ketahui bahwa Bilangan Desimal merupakan bilangan berbasis radix 10, dimana bilangan tersebut menggunakan 10 macam angka dari 0 sampai 9, setelah angka 9 angka berikutnya adalah 10, 11 dan seterusnya. Angka 9 diganti dengan angka 0,1,2 dan seterusnya sampai 9 lagi. Dan angka lainnya dinaikan menjadi 1.

Pada pembahasan kali ini kita akan membahas tentang macam-macam sistem bilangan yang digunakan dalam Ilmu Komputer ataupun Perangkat Elektronik lainnya. Pada dasarnya Komputer atau Perangkat-perangkat Elektronik hanya mengenal nilai high dan low dalam arti on dan off dan bisa disebut juga “hidup” dan “mati” yang mana artian tersebut dipresentasikan dalam suatu sistem bilangan yang disebut Bilangan Biner (binary) atau bilangan yang berbasis radix 2. Sistem bilangan biner tersebut mempunyai bilangan 1 dan 0 yang mana angka 1 adalah sebagai ‘on’ dan angka 0 adalah sebagai ‘off’. Selain bilangan biner kita juga akan mengenal tentang jenis-jenis bilangan lainnya, bilangan-bilangan tersebut adalah dasar yang kita gunakan untuk memperlajari suatu sistem pemrograman.

I. JENIS-JENIS SISTEM BILANGAN

Ada 4 jenis sistem bilangan yang perlu kita ketahui sebagai dasar dalam materi pemrograman, antara lain :

1. Bilangan Desimal

Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bilangan desimal merupakan bilangan yang berbasis radix 10, jadi di dalam sistem bilangan tersebut ada 10 angka yang terdiri dari angka 0 sampai dengan angka 9, setelah itu angka 9 diganti dengan angka 1 lagi dan diikuti dengan angka-angka berikutnya.

Contoh : 1₁₀, 2_10,3_10,4_10,5_10,6_10,7_10,8_10,9_10,10_10,11_10,12₁₀ dst.

2. Bilangan Biner

Bilangan Biner adalah suatu sistem bilangan yang berbasis radix 2, jadi di dalam Bilangan Biner hanya ada 2 angka yang terdiri dari angka 1 dan 0. Bilangan ini adalah bilangan yang dikenal oleh suatu sistem Komputer atau Elektronik.

Contoh : 0_2,1_2,10_2,11_2,100_2,101_2,110_2,111_2,1000_2,1001_2,1010₂dst.

3. Bilangan Oktal

Bilangan Oktal merupakan sistem bilangan yang berbasis radix 8, di dalam Bilangan Oktal sendiri mengenal 8 angka yang terdiri dari angka 0 sampai angka 7 Konversi bilangan oktal berasal dari bilangan biner yang dikelompokkan menjadi tiga-tiga dari angka yang paling kanan (LSB).

Contoh : 0_8,1_8, 2_8,3_8,4_8,5_8,6_8,7₈dst.

4. Bilangan Hexadesimal

Bilangan ini memiliki basis radix 16, yaitu bilangan yang mengenal angka dari angka 0 sampai dengan angka 15. Akan tetapi bedanya bilangan ini dengan bilangan-bilangan lain adalah angka lebih dari 9 (10,11,12 dst) diganti dengan huruf abjad/huruf kapital.

Contoh : 0_16,1_16,2_16,3_16,4_16,5_16,6_16,7_16,8_16,9_16,A_16,B_16,C_16,D_16,E_16,F₁₆dst.

Dalam sebuah sistem bilangan, istilah-istilah yang perlu kita ketahui adalah :

· MSB (Most Significant Bit)

Merupakan nilai bit yang paling besar, bit tersebut berada di sisi yang paling kiri di dalam sebuah bilangan biner.

Contoh : 1 1 0 0 0₂

MSB

· LSB (Least Significant Bit)

Merupakan nilai bilangan bit yang paling kecil, bit tersebut berada di sisi yang paling kanan di dalam sebuah bilangan biner.

Contoh : 1 1 0 0 0₂

LSB

· 1 Nible adalah setara dengan 4 bit

· 1 Byte adalah setara dengan 8 bit

· 1 Word adalah setara dengan 2 byte atau 16 bit

· 1 Double Word adalah setara dengan 2 word, 4 byte atau 32 bit

Di bawah ini merupakan tabel singkat konversi tiap-tiap sistem bilangan yang telah kita bahas diatas :

Desimal	Biner	Oktal	Hexadesimal
0₁₀	0₂	0₈	0₁₆
1₁₀	1₂	1₈	1₁₆
2₁₀	10₂	2₈	2₁₆
3₁₀	11₂	3₈	3₁₆
4₁₀	100₂	4₈	4₁₆
5₁₀	101₂	5₈	5₁₆
6₁₀	110₂	6₈	6₁₆
7₁₀	111₂	7₈	7₁₆
8₁₀	1000₂	10₈	8₁₆
9₁₀	1001₂	11₈	9₁₆
10₁₀	1010₂	12₈	A₁₆
11₁₀	1011₂	13₈	B₁₆
12₁₀	1100₂	14₈	C₁₆
13₁₀	1101₂	15₈	D₁₆
14₁₀	1110₂	16₈	E₁₆
15₁₀	1111₂	17₈	F₁₆

Setelah kita memahami semua materi di atas, kita akan mempelajari cara mengkonversi/mengubah suatu sistem bilangan menjadi sistem bilangan lain.

II. KONVERSI BILANGAN

Konversi bilangan adalah suatu proses mengubah bentuk bilangan satu ke bentuk bilangan yang lainnya yang memiliki nilai sama. Untuk lebih jelasnya Konversi Bilangan akan kita ulas pada materi di bawah ini.

Konversi bilangan Oktal, Biner, Hexadesimal ke Desimal

Ø Konversi Bilangan Oktal ke Desimal

Cara mengkonversi bilangan Oktal ke desimal adalah dengan cara mengkalikan dengan basis bilangannya (8) yang dipangkatkan mulai dari 0,1,2,3, dan seterusnya, dimulai dari yang paling kanan. Kemudian hasilnya dijumlahkan. Hasil penjumlahan bilangan tersebut merupakan bilangan Desimal.

Contoh :

Misal angka 250₈= .........₁₀

Cara mengerjakannya :

2 x 8²= 32

5 x 8¹= 40

0 x 8⁰= 0

Dijumlahkan angkanya = 32 + 40 + 0 = 72 jadi bilangan desimal dari 250₈adalah 72₁₀

Ø Konversi Bilangan Biner ke Desimal

Cara mengkonversi bilangan Biner ke desimal adalah dengan cara mengkalikan dengan basis bilangannya (2) yang dipangkatkan mulai dari 0,1,2,3, dan seterusnya, dimulai dari yang paling kanan. Kemudian hasilnya dijumlahkan. Hasil penjumlahan bilangan tersebut merupakan bilangan Desimal.

Contoh :

Misal 1101₂= .............₁₀

Cara mengerjakannya :

1 x 2³= 8

1 x 2²= 4

0 x 2¹= 0

1 x 2⁰= 1

Dijumlahkan angkanya 8 + 4 + 0 + 1 = 13 Jadi bilangan Desimal dari 1101₂adalah 13₁₀

Ø Konversi Bilangan Hexadesimal ke Desimal

Cara mengkonversi bilangan Hexadesimal ke desimal adalah dengan cara mengkalikan dengan basis bilangannya (16) yang dipangkatkan mulai dari 0,1,2,3, dan seterusnya, dimulai dari yang paling kanan. Kemudian hasilnya dijumlahkan. Hasil penjumlahan bilangan tersebut merupakan bilangan Desimal.

Contoh :

Misal DAC₁₆= .......₁₀

Cara mengerjakannya :

D = 13 x 16²= 3326

A = 10 x 16¹= 160

C = 12 x 16⁰= 12

Dijumlahkan angkanya 3326 + 160 + 12 = 3500 Jadi bilangan Desimal dari DAC₁₆adalah 3500₁₀

Konversi bilangan Desimal ke Biner Oktal dan Hexadesimal

Ø Konversi Bilangan Desimal ke Biner

Dalam mengubah bilangan Desimal ke bilangan biner yang perlu kita lakukan hanya membagi bilangan desimal tersebut dengan angka 2 sampai habis, bilangan yang tidak bisa dibagi dilakukan pembagian paling besar dan sisa angka dari pembagian tersebut maksimal 1. Untuk lebih jelasnya mari perhatikan pada pembahasan contoh di bawah ini :

Misal : 250₁₀= .............₂

Cara mengerjakan :

250 : 2 = 125 sisa 0 (Merupakan LSB)

125 : 2 = 62 sisa 1

62 : 2 = 31 sisa 0

31 : 2 = 15 sisa 1

15 : 2 = 7 sisa 1

7 : 2 = 3 sisa 1

3 : 2 = 1 sisa 1

1 : 2 = 0 sisa 1 (Merupakan MSB)

Jadi bilangan biner dari 250₁₀(250 desimal) adalah 11111010₂

Ø Konversi Bilangan Desimal ke Oktal

Dalam mengubah bilangan Desimal ke bilangan oktal yang perlu kita lakukan adalah membagi bilangan desimal tersebut dengan angka 8 sampai habis, bilangan yang tidak bisa dibagi dilakukan pembagian paling besar dan sisa angka dari pembagian tersebut maksimal 7. Untuk lebih jelasnya mari perhatikan pada pembahasan contoh di bawah ini :

Misal : 1327₁₀= ...........₈

Cara mengerjakannya :

1327 : 8 = 165 sisa 7 (LSB)

165 : 8 = 20 sisa 5

20 : 8 = 2 sisa 4

2 : 8 = 0 sisa 2 (MSB)

Jadi Bilangan Oktal dari 1327₁₀adalah 2457₈

Ø Konversi Bilangan Desimal ke Hexadesimal

Dalam mengubah bilangan Desimal ke bilangan hexadesimal yang perlu kita lakukan adalah membagi bilangan desimal tersebut dengan angka 16 sampai habis, bilangan yang tidak bisa dibagi dilakukan pembagian paling besar dan sisa angka dari pembagian tersebut maksimal F (15). Perlu diingat, angka lebih dari 9 dalam bilangan hexadesimal menggunakan abjad. Untuk lebih jelasnya mari perhatikan pada pembahasan contoh di bawah ini :

Misal 23600₁₀= ............₁₆

Cara mengerjakannya :

23600 : 16 = 1475 sisa 0

1475 : 16 = 92 sisa 3

92 : 16 = 5 sisa 12 (C)

5 : 16 = 0 sisa 5

Jadi Bilangan Hexadesimal dari 23600₁₀adalah 5C30₁₆

Konversi bilangan Oktal ke Biner dan Sebaliknya

Ø Konversi Bilangan Oktal ke Biner

Cara untuk konversi bilangan Oktal ke Biner adalah dengan memecah satu persatu digit angka-angka oktal, lalu masing-masing dari angka tersebut diubah menjadi bilangan biner, setelah itu masing-masing bilangan biner diurutkan kembali. Untuk lebih jelasnya lihat ke contoh soal di bawah ini :

Misal 147₈ = ........₂

Cara mengerjakannya

1. Angka 1, 4 dan 7 dipisah lalu masing-masing diubah menjadi bilangan biner.

1 4 7

001 110 111 Binernya

2. Setelah masing-masing diubah ke Biner maka langkah selanjutnya diurutkan kembali.

Jadi Bilangan Biner dari 147₈adalah 001110111₂

Ø Konversi Bilangan Biner ke Oktal

Untuk mengkonversi bilangan Biner ke Oktal adalah dengan cara mengelompokan bit-bit bilangan Biner per 3 bitnya. Lalu masing-masing 3 bit tersebut diubah ke dalam angka desimal, lalu urutkan bilangan tersebut untuk menjadi bilangan oktal.

Misal 11001101₂ = .............₈

Cara mengerjakannya :

Mengelompokkan

1 1 | 0 0 1 | 1 0 1 Didapat angka 315₈

3 1 5

Kenapa bisa jadi 315₈?

Pembahasan :

1 1 | 0 0 1 | 1 0 1 dimana h = 1x2⁰= 1 , g = 0x2¹= 0, f = 1x2²= 4

a b c d e f g h

jika dijumlahkan 1 + 0 + 4 = 5 begitu pula dengan perhitungan cde dan ab

Konversi bilangan Hexadesimal ke Biner dan Sebaliknya

Ø Konversi Bilangan Hexadesimal ke Biner

Cara mengkonversi Bilangan Hexadesimal ke Biner hampir seperti mengubah oktal ke biner. Bedanya adalah konversi ke Biner nya dijadikan 4 bit per angka nya. Untuk lebih jelasnya lihat contoh berikut ini :

Misal

A7F₁₆= ............₂

A = 10 7 F=15

1010 0111 1111

Per 4 bit

Jadi nilai Biner dari A7F₁₆adalah 101001111111₂

Ø Konversi Bilangan Biner ke Hexadesimal

Caranya juga hampir sama dengan mengubah Biner ke Oktal. Berbedanya dengan mengelompokkan bit-bit bilangan biner menjadi empat-empat, kemudian masing-masing kelompok diubah ke bilangan Hexadesimal. Untuk lebih jelasnya lihat contoh berikut :

Misal

110100110101₂=...............₁₆

Cara mengerjakannya :

1 1 0 1 | 0 0 1 1 | 0 1 0 1

3 3 5

Jadi Nilai Hexadesimal dari 110100110101₂ adalah 335₁₆

Konversi bilangan Oktal ke Hexadesimal dan Sebaliknya

Ø Konversi Bilangan Oktal ke Hexadesimal dan sebaliknya

Mengubah Bilangan Oktal ke Hexadesimal sama halnya dengan mengubah Hexadesimal ke Oktal. Ada sedikit perbedaan mengenai pengelompokan digit, seperti yang sudah kita bahas di atas. Untuk lebih jelasnya perhatikan langkah-langkah berikut ini :

1. Ubahlah Bilangan Oktal/Hexadesimal ke bentuk Biner terlebih dahulu

2. Jika sudah, kelompokkan menjadi 3 atau 4 bit per kelompoknya, tergantung pengubahannya, jika Oktal kelompokan menjadi tiga-tiga. Dan jika Hexadesimal kelompokkan menjadi empat-empat.

3. Perhatikan Contoh berikut ini :

Oktal ke Hexadesimal

Misal 725₈ = ........₁₆

Caranya :

Ubahlah ke biner dulu menjadi per 3 bit, jika hanya sampai 2 bit tambahkan angka 0 di depannya.

7 2 5 Lalu ubahlah bilangan biner ke Hexadesimal

111 010 101 1 11 01 0101

1 D 5

Tambah angka 0

Bilangan Hexadesimal dari 725₈adalah 1D5₁₆

Hexadesimal ke Oktal

Dengan angka tadi, mari kita ubah lagi Hexadesimal ke Oktalnya.

Caranya :

Ubahlah ke biner dulu menjadi per 4 bit, jika hanya sampai 3 bit tambahkan angka 0 di depannya.

1 D= 13 5

0001 1101 0101

Lalu ubah ke Oktal dengan mengelompokkan per 3 bit :

00|111|010|101

0 7 2 5

Nilai dari 1D5₁₆ adalah 725₈

III. OPERASI BILANGAN BINER

A. Penjumlahan Bilangan Biner

Penjumlahan Bilangan Biner berbeda dengan penjumlahan bilangan desimal. Untuk lebih jelasnya mari kita baca konsep di bawah ini :

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1

0 + 1 = 1

1 + 1 = 0 simpan 1 karena di dalam bilangan biner bilangan max = 1

Contoh soal :

1 0 1 1 0₂

1 0 0 1 1₂

1 0 1 0 0 1

Pembahasan :

Dari paling kiri

0 + 1 = 1

1 + 1 = 0 simpan 1 , angka 1 diletakkan/ditambahkan ke sisi kanan

1 + 1 + 0 = 0 simpan 1 ,

1 + 0 + 0 = 1

1 + 1 = 0 simpan 1, angka 1 ditambahkan ke sisi kanan

1 + 0 = 1

Jadi hasilnya 101001₂

B. Pengurangan Bilangan Biner

Ada 2 metode pengurangan (-) Bilangan Biner :

1. One’s Complement (membalikkan)

Contoh :

1 0 0 0 1

0 1 1 1 0 membalikkan dari yang 1 jadi 0 dan sebaliknya

Jadi hasilnya adalah 0 1 1 1 0₂

Kelemahan metode One’s Complement adalah Nilai 0 bisa jadi (+) bisa (-)

2. Two’s Complement

Two’s Complement adalah penyempurnaan dari One’s Complement. Cara dengan Two’s Complement adalah dengan membalikkan bilangan biner tersebut setelah itu ditambah dengan angka 1.

Contoh :

1 0 0 0 1

0 1 1 1 0

Lalu ditambah 1

0 1 1 1 0

0 1 1 1 1 jadi hasilnya 0 1 1 1 1₂

IV. GERBANG LOGIKA

Gerbang Logika (Logic Gate) adalah dasar dari sebuah rangkaian digital. Biasanya memiliki 2 buah input dan 1 buah output. Tiap input dan ouputnya hanya memiliki satu kondisi saja dalam 1 waktu, low atau high. Tidak ada terminal dengan dua kondisi pada satu waktu. Terdapat 7 gerbang logika dasar :

1. Gerbang Logika AND (x)

Gerbang Logika AND seperti halnya dengan sebuah perkalian, output AND akan bernilai 1 jika kedua inputnya bernilai 1. Di bawah adalah tabel gerbang logika AND dengan 2 input dan outputnya :

Input A	Input B	Output
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Yang dimaksud dengan perkaliannya adalah jika 0 x 1 = 0 dan 1 x 1 = 1

2. Gerbang Logika OR (+)

Gerbang Logika OR sama halnya dengan sebuah penjumlahan, output OR akan bernilai 1 jika salah satu atau kesemua inputnya bernilai 1. Dan akan bernilai 0 jika kesemua inputnya bernilai 0. Berikut tabel gerbang logika OR :

Input A	Input B	Output
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

3. Gerbang Logika XOR

XOR (Exclusive-OR) gerbang logika ini akan bernilai 1 jika salah satu saja input yang bernilai 1, jika keduanya bernilai 1 maka outputnya akan bernilai 0.

Tabel :

Input A	Input B	Output
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

4. Gerbang Logika NOT

Gerbang Logika NOT merupakan gerbang logika kebalikan. Kondisi output akan bernilai 1 saat input bernilai 0, begitu pula sebaliknya.

5. Gerbang Logika NAND

Gerbang Logika NAND (Not-AND) adalah kebalikan dari gerbang logika AND. Output akan bernilai 0 saat semua input bernilai 1. Selain itu output akan bernilai 1.

Input A	Input B	Output
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

6. Gerbang Logika NOR

Gerbang Logika NOR (Not-OR) merupakan kebalikan dari gerbang logika OR. Kondisi output akan bernilai 1 jika semua input bernilai 0.

Input A	Input B	Output
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

7. Gerbang Logika XNOR

Gebang Logika XNOR (Exclusive-Not-OR) adalah gerbang logika kebalikan dari XOR. Output akan bernilai 1 jika saat semua input bernilai sama (1 atau 0), selain itu bila nilai inputnya berbeda output akan bernilai 0.

Input A	Input B	Output
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Aturan Boolean Aljabar dapat diaplikasikan dalam berbagau ekspresi logika. Hasil ekspresi logika dapat bisa langsung diuji dengan tabel kebenaran untuk mendapatkan hasil yang valid.

Berikut ini adalah aturan Boolean Aljabar :

- Opreasi AND (.)

0 . 0 = 0 A . 0 = 0

1 . 0 = 0 A . 1 = A

0 . 1 = 1 A . A = A

1 . 1 = 1 A . A’ = 0

- Operasi OR (+)

0 + 0 = 0 A + 0 = A

1 + 0 = 1 A + 1 = 1

0 + 1 = 1 A + A = A

1 + 1 = 1 A + A’ = 1

- Operasi NOT (‘)

0’ = 1

1’ = 0

A” = A

- Hukum Asosiatif

(A.B).C = A.(B.C) = A.B.C

(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C

- Hukum Distributif

A . (B+C) = (A.B) + (A.C)

A+ (B.C) =(A+B).(A+C)

- Hukum Komutatif

A . B = B. A

A + B = B + A

- Presedensi

AB = A.B

A.B+C = (A.B) +C

A+B.C= A+(B+C)

- Teorema DeMorgan

(A.B)’ = A’+B’ (NAND)

(A+B)’ = A’ + B’ (NOR)

V. KONVERSI BILANGAN PECAHAN DESIMAL, BINER, OKTAL DAN HEXADESIMAL

Dalam pembahasan ini kita akan membahas tentang konversi bilangan yang memiliki angka di belakang koma. Pada dasarnya mengubah bilangan tersebut setelah di belakang koma, maka dikalikan dengan bilangan berpangkat mulai dari -1 , -2 dan seterusnya ke kiri, lalu hasil perkalian masing masing angka dijumlahkan. Untuk bilangan yang dipangkatkan sendiri seperti pada pembahasan mengubah bilangan desimal ke biner, oktal, dan hexadesimal yang sudah kita bahas sebelumnya. Untuk lebih jelasnya mari kita perhatikan satu per satu contoh berikut ini :

· 11,01 ke desimal

1 1 , 0 1 Jika ke kanan maka pangkat-pangkatnya di +1

Jika ke kiri maka pangkatnya di -1

1x2⁰

1x2^-1

0x2^-2

1x2^-3

Mari kita jumlahkan 1x2⁰= 1 , 1x2^-1= 0,5 , 0x2^-2= 0 ; 1x2^-3=1/8

Jadi 1+0,5+0+1/8 = 1,625

Untuk Oktal, Hexadesimal dan Biner tinggal menyesuaikan seperti mengonversi yang di bahas sebelumnya. Perbedaannya hanya pada angka yang di belakang koma maka pangkatnya menjadi negatif.

Untuk download versi Pdf silahkan klik DISINI

Sumber Referensi :

- Buku Tulis Pribadi

- Materi Pemberian Dosen

- http://hyperpost.blogspot.co.id/2014/03/jenis-jenis-bilangan.html?m=1

Nama : Bambang Edi Wibowo

NIM : 16/400948/SV/11452